Respuesta completa

Después de estar todo este tiempo mirando como funcionan los circuitos en régimen permanente sinusoidal y estudiar como les afectan los cambios frecuenciales, nos vamos a meter en el mundo temporal donde también tendremos en cuenta el régimen transitorio, un régimen donde pasan fenómenos diferentes.

Este análisis se puede hacer aplicando la idea de transformada de Laplace sobre la función del circuito y así, aplicando una serie de condiciones iniciales, podremos saber como actuará el circuito sobre cada excitación, dándonos la visión temporal y no la frecuencial. Esta visión temporal nos recalcará la parte transitoria del circuito, que es la que nos interesa al hacer este análisis.

Para poder transformar de una manera fácil cada función de red, primero estaría bien conseguir separar cada función de red en sus raíces (tanto en numerador que en denominador) respecto S. Al hacerlo, tendremos unas multiplicaciones de raíces de S que haciendo los cálculos oportunos nos darán la respuesta temporal del circuito.

Una cosa que nos puede ayudar en la antitransformación de estas funciones de red es el localizar en el plan dónde está cada raíz, ya que según donde estén podremos predecir la forma de la antitransformada. Por ejemplo si están en la zona real negativa, será una antitransformada cuya respuesta propia del circuito acabe tendiendo a desaparecer con el tiempo exponencialmente. Si está en el semiplano positivo, crecen exponencialmente consiguiendo así que un circuito no llegue nunca a su estabilidad así mismo sin conseguir nunca el régimen permanente sinusoidal. Y por último en el origen dan una respuesta propia continua, que no desaparece.

Así que podemos observar las ventajas que nos da este tipo de estudio temporal respecto el frecuencial, aunque sea algo más complicado respecto cálculos que el frecuencial.

La relación señal/ruido

Después de toda la introducción al uso de Fourier y sus teoremas a los circuitos, podemos empezar a usarlos de manera más inteligente para poder conseguir señales senoidales o continuas a partir de cualquier tipo de señal con cualquier forma.

Como introducimos en la entrada anterior, las señales no son más que una suma de una componente continua con muchos generadores senoidales (cada vez con menos intensidad, a medida que la frecuencia armónica aumenta) con frecuencias las cuales son armónicas (siguen un patrón de n*fo). Así que siguiendo este patrón y sabiendo un poco en filtros, podemos llegar a la conclusión de que si ponemos un filtro paso-bajo para así conseguir atenuar las señales a partir de una frecuencia del tal manera que podamos acabar negligiéndolas.

Por ejemplo, si queremos una señal continua podríamos poner un filtro paso-bajo cuya frecuencia de corte sea mucho menor a la frecuencia del primer generador senoidal y si queremos una senoidal, primero podríamos poner un paso-bajo que deje pasar casi intacta la señal del primer armónico y consiga atenuar lo suficiente la del segundo y para eliminar la continua podríamos poner un condensador en serie cuyo valor no altere demasiado el valor de esta misma senoide.

Aquí se nos plantea una duda: ¿Cuando podremos empezar a decir que una señal es negligible respecto a otra?

Esto siempre lo podemos decir cuando la amplitud de las dos se diferencian en dos órdenes de magnitud. Pero claro, no todas las señales son igual de buenas, por mucho que lo sean y para eso se ha creado un concepto para así poder saber la calidad de esta señal.

Primero deberíamos hablar del concepto de ruido, que son todas las ondas que han sido atenuadas mucho pero que nunca desaparecen, solamente están ahí de una forma casi invisible. Estas señales se suman a la total aportando pequeñas variaciones, cosa que a veces puede provocar increíbles errores, por eso buscamos que el ruido siempre sea pequeño.

Después de saber lo que es el ruido se define la relación señal ruido (S/N), que lo único que hace es medir esta relación del ruido total respecto a la amplitud de la señal. Se calcula con 10log((Vrms señal)^2/(Vrms ruido)^2). Esta relación para que sea buena ha de ser mayor a 30/40dB (ya que como podemos observar, esto dará unidades de ganancia).

Así que después de esta clase podemos decir que hemos aprendido bastante sobre como tratar señales que no sean senoidales de manera eficiente y como conseguir diferentes tipos de señales a partir de otras de formas muy distintas entre sí.

Aplicación de Fourier

Desde principio de curso que estamos estudiando como actúan los circuitos cuando son excitados con una señal senoidal, cosa que hasta ahora, parecía una traba ya que no sabíamos como aplicar nuestros conocimientos (generalmente) a más tipos de forma de onda que no fueran senoidales.

Pero parece que siempre hay soluciones para todo, y para esto no será la excepción. Fourier, nuestro ya conocido matemático, tiene una teoría la cual dice que cualquier tipo de señal, sea lo complicado que sea, puede crearse como la suma de senoides de diferentes frecuencias.

Aplicando su fórmula a los circuitos, un generador independiente de un voltaje que varia en el tiempo arbitrario (Vg(t)) puede ser transformado en la suma de una constante (Co) continua y la suma de generadores independientes de diferentes amplitudes y a frecuencias armónicas una respecto otra (todas siguen un patrón marcado por la fórmula).

La gracia de este método es que podemos aproximar la señal inicial por la suma de tantos generadores como necesitemos para reducir el error, cosa que nos podría llevar a pensar que quizás necesitemos calcular muchos generadores para que así también el error sea bajo y podamos aplicarlo sin temor. Pero no, Fourier también nos afirma que los primeros generadores siempre tienen más relevancia que los siguientes, de tal manera que el primero sea el más relevante, luego el segundo, el tercero, etc.

Esto nos dará la ventaja de tener que calcular pocos generadores a la práctica (ya que hacer el cálculo de ellos puede llegar a ser bastante difícil) y así nos complicarnos la vida calculando demasiados.

Esta nueva visión de los circuitos también nos acaba llevando a otro tipo de gráfica para poder representar este hecho y la influencia de cada generador al circuito. Este modelo nuevo es el modelo espectral, que consta en hacer dos gráficas (una de amplitud y otra de desfase) cuyo eje x es el de frecuencias. En este eje de frecuencias pondremos las frecuencias armónicas para así poder representar con una línea vertical la amplitud y el desfase al cual le corresponde cada generador (ya que a cada generador de la suma de Fourier le corresponde una frecuencia armónica diferente).

Podemos decir que gracias a este método para transformar las señales en senoides, sea cual sea la dificultad de ella, podremos analizar una gran variedad de circuitos con una facilidad mayor a antes.

Caracterizando los picos

Después de seguir haciendo algunos trazados de Bode donde aparecían picos de resonancia, empezamos a definir y calcular conceptos como el ancho de banda que tiene un pico de resonancia.

Este ancho de banda del pico, es la zona de frecuencia donde el pico no llega a atenuarse mucho (o sea que no baja del 0,707 de amplitud máxima). Haciendo unos cálculos y usando la fórmula de ganancia de Bode llegamos a la conclusión de que el ancho de banda del pico de resonancia se calcula gracias al factor rho (multiplicando rho por 2 y por la pulsación dada por la frecuencia).

Teniendo en cuenta este concepto de ancho de banda, podemos definir otro concepto que nos dará la relación de como evoluciona el pico y lo "bueno" que es. Este factor nos dirá si el pico trabaja bien y podemos fiarnos de él, se le llama factor de calidad y se consigue con la división entre la pulsación y el concepto de ancho de banda del pico. Este factor si da mayor a 5, nos estará diciendo que el pico es bueno y no habrá problemas con el circuito.

Después de esta introducción de conceptos, hicimos una puntualización para poder calcular y ver los picos de resonancia con PSpice. Para conseguirlos con total fidelidad deberíamos ir cambiando el número de puntos (subiéndolos) en los que querremos calcular el gráfico hasta que salgan 2 veces seguidas el pico en el mismo sitio, ya que si no podríamos tener un pico no real o incluso no ver el pico.

Por último vimos una manera nueva de ver la ganancia de un voltaje respecto a un microvoltio. Este cálculo se hace con la fórmula de Bode pero dividiendo el voltaje que queremos entre 10^-6, lo que nos acabará saliendo una nueva unidad, decibelios por microvoltio.

Picos de resonancia

Primeramente, calentamos con unos ejemplos de hacer diagramas de trazados de Bode y así recordar un poco dónde estábamos y para qué hacíamos todo este estudio, que al fin y al cabo no deja de ser muy interesante a la hora de saber cómo funciona el circuito solamente sabiendo su función de red.

En este tiempo, teóricamente pudimos entender lo que era realmente el ancho de banda, que es el rango de frecuencias donde el circuito funciona perfectamente y la salida es igual o mayor a 0,707 a la señal de entrada al mismo.

Después de esta intensiva hora buscando ganancias y desfases retomamos la teoría presentando un nuevo tipo de ecuación de red que no se nos había dado aún, una con una ecuación de segundo grado en el denominador, así teniendo que definir nuevos parámetros.

La forma que sabemos analizar de este tipo de funciones de red es aquella cuyo numerador tiene la frecuencia de corte al cuadrado (al igual que el elemento libre en el denominador) y los elementos que multiplican al factor de primer grado del denominador son un frecuencia de corte por un factor adimensional rho. Este factor será muy importante para saber cuantas soluciones tendrá esta función de red y como serán.

Todo y esto, la función ha de cumplir un requisito mínimo, sus coeficientes del denominador han de ser del mismo signo todos (sea positivos o negativos), ya que si no el circuito no será estable.

Después de hacer el análisis de una función de red que cumplía todo esto vimos que el diagrama de Bode fallaba, ya que en el punto donde estaba la frecuencia de corte, había un pico que se salía mucho del trazado habitual, en el cual había un gran pico de potencia. Este pico de potencia se le llama pico de resonancia, ya que hay una subida de voltaje y potencia increíble, muy útil para cualquier diseño.

Trazados de Bode

En esta nueva sesión hemos buscado cómo graficar las curvas de respuesta frecuencial de una manera más eficaz y eficiente que haciéndolo por el método matemático. Esto se puede hacer con el sistema de Trazados de Bode, el cual no acaba siendo otra cosa que una aproximación de la curva real.

Con este método podemos obtener dos gráficas, una desde la función de red del circuito el cual vayamos a analizar y otra desde el argumento del ángulo que vaya creando este circuito como respuesta a la excitación. Para hacerlo una manera muy eficiente de hacerlo sería respecto donde la función de red tiende a 0 y cuando tiene a infinito. Por lo tanto, nuestras funciones de red de ahora tendrán una estructura de constante multiplicando a una fracción cuyo denominador estarán los ceros y en el denominador los polos (puestos como raíz).

Bode propuso un sistema que relacionaba esto con la ganancia en decibelios, ya que en cambio de dividir las potencias medias, dividía las caídas de voltajes en los sitios donde quería calcular y para eso sacaba el factor cuadrado a fuera del logaritmo multiplicando al 10 (ya que en este caso las resistencias donde había medido la caída eran iguales).

Esta simplificación nos creaba una escala lineal que se mueve por décadas y octavas. Cosa la cual nos puede ayudar mucho a la simplificación de graficar este tipo de ejercicios y resolverlos, ya que, en realidad todo lo que tenemos que hacer es interpretar esa función como una recta y (según los ceros y polos, tambíen llamados límites asintóticos) ver que le pasa a la función respuesta en ese trozo de gráfica.

El Teorema de la Máxima Transmisión de Potencia

En el estudio de los circuitos, es muy importante todas las cuestiones relacionadas con la potencia ya que muchas veces necesitaremos usar esa potencia en nuestro beneficio.

El primer problema que tenemos que solucionar, y más importante es el de encontrar y saber cual es la máxima potencia que puede llegar a dar nuestra fuente ya sea de tensión o corriente.

Para ello hay un teorema que se le llama el Teorema de Máxima Transmisión de Potencia. Este Teorema lo que hace es graficar la potencia que se da en una resistencia arbitraria conectada a otra por un paralelo e ir variando esta resistencia hasta que te da una gráfica con un máximo. El teorema busca para que resistencia se dará este máximo y acaba concluyendo que será en la resistencia cuyo valor sea igual al de la otra resistencia colocada en el paralelo.

Siguiendo con este estudio, acabamos concluyendo la fórmula para calcular la máxima potencia que puede otorgar una fuente, la cual es como la de la potencia media pero cambiando el 2 por un 8.

Para concluir esta clase sobre potencia, vimos que pasaba si la resistencia total no era solamente resistiva si no que incluía una parte imaginaria, o sea que era una impedancia. El único cambio que se observa es que el circuito ha de tener dos resistencias colocadas en paralelo las cuales una de ellas tenga un valor conjugado a la otra.